Волшебное число семь

Нумерологи утверждают, что семь это магическое число, потому что людям известны семь нот, семь чудес света, семь дней недели, семь цветов радуги и множество других штук, которых по неизвестной причине тоже ровно семь.

Любознательные нумерологи задаются вопросом: случайно ли это, и сами себе отвечают — нет!

А что ответим мы?

Надо разобраться.

Дни недели

Если вы спросите историка, почему в неделе семь дней, он задаст уточняющий вопрос — в какой? У древних римлян неделя состояла из восьми дней, у кельтов — из девяти, а у германцев — из четырнадцати.

Древний Египет мог похвастаться десятидневной неделей, а Вавилон — привычной семидневной.

Семидневная неделя неплохо укладывается в лунный календарь. Не идеально, потому что периоды вращения небесных тел не делятся друг на друга нацело, но достаточно точно.

Луна совершает полный оборот вокруг Земли за 29,5 дней. За это время мы наблюдаем две хорошо различимые стадии: рост и убывание Луны, каждая из которых длится 14 с хвостиком дней. В середине четырнадцатидневного интервала мы видим на небе ровно половину Луны.

Благодаря нашим астрономическим реалиям, мы измеряем интервалы времени лунными месяцами, каждый из которых состоит из четырёх семидневых недель.

Нельзя забывать и о культурных реалиях. В европейской и азиатской цивилизациях получили распространение аврамические религии: иудаизм, христианство и ислам. Все они признают историю сотворения мира за семь дней, поэтому для нас естественно считать неделю семидневной.

Цвета радуги

Сколько цветов в радуге? Любой школьник ответит «семь» и даже перечислит: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый.

Чтобы запомнить порядок и названия цветов, мы учили в детстве фразу-мнемонику «каждый охотник желает знать, где сидит фазан». В английском языке мнемоникой служит имя мифического Роя Джи Бива (Roy G. Biv), которое раскладывается в red, orange, yellow, green, blue, indigo и violet.

Ничего странного не заметили? В английской радуге пропал голубой, а вместо него между синим и фиолетовым появился индиго. Хм… Если в радуге есть и голубой, и индиго, может быть, в ней на самом деле восемь цветов: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, индиго, фиолетовый?

Если вы увлекаетесь дизайном, программированием или физиологией, то наверняка слышали о существовании цветовых моделей. Цветовые модели позволяют составить любой цвет из нескольких основных. В мониторах, телевизорах и смартфонах использют аддитивную или сочетательную модель.

Приглядевшись к точками на своём мониторе вы увидите, что каждая содержит три светодиода. Один из них красный, второй зелёный, а третий — синий.

Складывая красный, зелёный и синий, мы можем получить любой цвет. Складывая основные цвета попарно, мы получим жёлтый, голубой и фиолетовый — так называемые дополнительные цвета.

Всего основных и дополнительных цветов шесть: красный, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Они очень похожи на цвета радуги, только в списке нет оранжевого.

Может быть, в радуге шесть цветов? Давайте приглядимся. Настоящая радуга непрерывна, в ней цвета плавно перетекают от красного к фиолетовому. Если мы спросим, например, художника, сколько он видит цветов, он назовёт их несколько десятков, потому что цвета — это его профессия.

Но даже художник будет называть знакомые цвета. Сколько же их на самом деле? Бесконечно много. На практике удобно иметь несколько опороных цветов, но какие это будут цвета и сколько их — в разных культурах решают по разному. Существует разбиение радуги на двенадцать цветов, в котором присутствуют три основных цвета, три дополнительных и ещё шесть промежуточных.

Считается, что число семь ввёл в науку Ньютон, проводя аналогию между цветовым и звуковым рядами. Получается, в европейской культуре семь цветов потому, что в ней семь нот.

А почему у нас семь нот?

Ноты

Чтобы разобраться с количеством нот, ненадолго погрузимся в механику колебания струны. Зещепив и отпустив струну, мы начинаем цикл колебаний. Амплитуда (сила) этих колебаний будет постепенно снижаться, пока струна не остановится, а вот их частота будет постоянной. Частота зависит от длины струны, силы её натяжения, плотности материала и площади поперечного сечения.

Если длину струны сократить в два раза, её частота увеличится вдвое. На гитаре вы можете зажать любую из шести струн на двенадцатом ладу, это как раз половина. Частота колебаний зажатой струны будет ровно в два раз выше, чем частота открытой.

Теперь небольшой, интересный и очень важный для нас факт. Когда струна колеблется с частотой N, каждая её половинка колеблется с частотой 2N, а каждая треть — с частотой 3N. То же самое верно и для четвертых, пятый, шестых часатей, и так далее.

Мы слышим звук, обогащённый обертонами, то есть высокими тонами. Чистый звук без обертонов близок к звуку колокольчика, и с помощью него мы бы не смогли разработать теорию музыки.

Для исследования интервалов используют инструмент, который называется монохорд. Почти наверняка вам не доведётся его увидеть, но, возможно, у вас или ваших знакомых есть гитара.

Возьмите гитару (подойдёт даже ненастроенная, главное, чтобы струны были натянуты) и извлеките звук из любой струны на седьмом ладу. Седьмой лад отмеряет 2/3 от целой струны. Поскольку частота звука обратно пропорциональна длине струны, струна, зажатая на седьмом ладу, звучит в 3/2 раза выше, чем открытая.

Какие обертона у короткой струны? Прежде всего мы слышим половины. Их частота должна быть в два раза выше, чем у целой короткой струны, то есть 3/2 × 2 = 3. Половины короткой струны звучат как трети целой.

Чем дальше высота обертона от основного тона, тем меньше он участвует в общем звуке. Обертоны 1/2 и 1/3 звучат громко, что делает звучание струн с соотношением сторон 2/3 очень похожим, созвучным.

Музыканты называют эту разницу в звуке интервалом, а интервал в 3/2 — квинтой, Чуть позже мы узнаем, почему.

Здесь я вынужден сделать небольшое отсутпление для музыкантов. Они, конечно, обратили внимание, что, рассказывая про натуральный строй, я иллюстрирую его с помощью гитары, строй которой — равномерно темперированный. В своё оправдание скажу, что хочу показать принцип построения октавы, пользуясь доступным инструментом. Был бы у нас под рукой монохорд, мы бы строили натуральные интервалы.

Но вернёмся к музыкальной теории. Мы выяснили, что из-за обертонов колебания целой струны созвучны колебаниям струны, зажатой на 2/3 своей длины. Точно также, созвучна с целой струной и струна, зажатая на 3/4 своей длины. На гитаре это пятый ряд. Она звучит в 4/3 раза выше, чем открытая струна. Этот интервал называется кварта.

Струна, зажатая на четвёртом ладу, звучит в 5/4 раза выше. Этот интервал называются большая терция.

Соседние натуральные числа — не единственные возможные пары. Струна, зажатая на девятом ладу, звучит в 5/3 раз выше, чем открытая. Это секста.

Другие хорошо звучашие интервалы получаются, как комбинация простых интервалов. Квинта кварты это целая октава: 3/2 × 4/3 = 2/1, нам она уже известна. А вот квинта большой терции даёт звук с отношением 3/2 × 5/4 = 15/8. Его можно услышать, зажав струну на одинадцатом ладу.

Квинта квинты будет звучать в 3/2 × 3/2 = 9/4 раз выше, чем открытая струна. Так как 9/4 > 2, эта нота будет находиться в следующей октаве. Поделив её частоту на два, мы сделаем ноту на октаву ниже. У нас получится отношению 9/8, которому сооветствует струна, зажатая на втором ладу.

Подведём итог. На шестиструнной гитаре ни одна открытая струна не звучит, как До первой октавы, поэтому нам придётся представить себе такую струну, чтобы сверять наши интервалы с классической октавой, которая начинается с До.

Нота До Ре Ми Фа Соль Ля Си До
Частота 261,63 293,66 329,63 349,23 392,00 440,00 493,88 523,25
Лад 0 2 4 5 7 9 11 12
Отношение 1,00 1,13 1,25 1,33 1,50 1,67 1,88 2,00

Вот они, семь нот. До — первая, Фа — четвёртая, Соль — пятая. По-латыни, четвёртая будет кварта, а пятая — квинта. Как видим, названия интервалов означают порядковый номер ноты.

Сколько нот всего? Здесь мы видим семь, это стандартный европейский строй. В народной музыке стран Азии распространена так называемая пентатоника — строй из пяти нот. Важно, что пентатоника тоже построена на интервалах, поэтому в ней мы встретим те же ноты, только в количестве пяти штук.

Музыка из пяти нот чуть менее разнообразна, но, как показал вокалист Бобби Макферрин, достаточно естественна для человека:

Можно ли продолжать процесс деления октавы интервалами? Да. Пифагорейцы, создавшие первоначальную шкалу из семи нот, быстро обнаружили её ограничения. Они добавили в октаву пять новых звуков, но не дали им обозначений. Названия этих звуков образуются от названий ближайших нот — Фа-диез, Ля-бемоль.

Пифагорейская шкала сохранилась до наших дней. В современной октаве есть двенадцать звуков, семь из которых мы по традиции называем нотами.

Тогда, может быть, в октаве двенадцать звуков и настоящее магическое число — это именно двенадцать? Нет. Человеческий слух, особенно тренированный, в состоянии разлицать не только полутона, но и трети, и четверти тонов. Строй, в котором пристуствуют такие небольшие интервалы, называют микрохроматическим или микротональным.

Выходит, семь нот в октаве — это дань традиции?

Выходит, так. Но вопрос с числом семь ещё не решён. Оно действительно часто встречается в нашей культуре. Почему? Популярность числа десять можно объяснить количеством пальцев на руках. Популярность числа двенадцать — удобством деления дюжины на два, три, четыре и шесть. Но чем объяснить притягательность простого некруглого числа семь?

Магическое число семь плюс-минус два

Свет на эту тайну пролил американский психолог Джордж Миллер. Он исследовал работу оператов в компании Bell Laboratories. Одной из тем исследования была так называемая рабочая память.

Человек задействует рабочую память, когда ему надо сохранить информацию буквально на пару минут. Например, при перемножении чисел в уме или при планировании дел на ближайшие дни. Мы знаем, что размер долговременной памяти человека достаточно велик — сказители древности запоминали наизусть целые поэмы.

Миллер же измерил размер рабочей памяти.

Мы тоже можем это сделать, пройдя небольшой тест. Возьмте строку случайных букв, например вот эту:

КОЦПРХЧУЮЫДЦШМВЧЩУМДАЫДЛО

Постарайтесь за десять секунд запомнить как можно больше букв. Затем сделайте паузу на десять секунд и запишите буквы, которые вы запомнили.

Этих букв окажется шесть, семь, или восемь, может быть, девять. В среднем люди помнят около семи объектов. Под «объектом» понимается хорошо различимая единица. Если провести эксперимент не с буквами, а со случайными словами, мы получим схожий результат.

ПАЛЕЦ КОЛОРАТУРА ВЕРТИКАЛЬ СТРОГАТЬ ВИДИМОСТЬ РАЗНОМАСТНЫЙ ЧЕРЕДОВАТЬ ЛЕПНИНА СТРОКОВЫЙ БОКОВУШКА ЛЕОНАРД ФИКЦИЯ ПЛОВЕЦ РАТУША

Миллер изложил свои результаты в статье 1956 года «Магическое число 7±2».

Именно объёмом рабочей памяти человека объясняется удобство числа семь для человека. Вот и вся магия.

Ссылки по теме

  1. Формула частоты колебаний.
  2. Математика колебаний струны.
  3. George A. Miller. The Magical Number Seven, Plus or Minus Two.