Парадоксы Зенона

Сегодня наткнулся на статью Почему Ахиллес никогда не догонит черепаху, подписанную Лидией, преподавателем ВУЗА.

Лидия пишет:

Глубочайшие умы человечества пытались опровергнуть апории Зенона. Гераклит, Аристотель, Кант, Гегель, не говоря о более мелких фигурах. Никто не сумел сделать это убедительно. Эти парадоксы решают и философы, и логики, и математики — как об стену горох.

Так что пока апории Зенона остаются нерешенными загадками.

Будучи математиком, пусть и прикладным, хочу внести ясность: математики разобрались с апориями Зенона давным-давно.

И сейчас я расскажу, как.

Для начала исследуем историю Ахиллеса и черепахи.

Самая знаменитая из них гласит, что Ахиллес (самый быстроногий бегун Греции) никогда не догонит черепаху, если стартует позже ее на тысячу шагов. Почему?! Потому что, когда он достигнет той точки, где была черепаха в момент его старта, она уже отползет на какое-то расстояние. Ахиллес примчится туда — а она опять в другой точке пространства. И т.д. до бесконечности.

В парадоксах Зенона важен контекст. Его учитель, философ Парменид, постулировал превосходство разума над опытом, поскольку опыт подвержен искажениям. Зенон в своих парадоксах опровергал утверждения, противоречащие философии своего учителя.

Например, утверждение, что время и расстояние можно делить бесконечно. Результатом рассуждений Зенона был логический вывод: очевидно, что Ахиллес догонит черепаху, значит, и время с расстоянием бесконечно делить нельзя.

Чтобы внести в наши рассуждения определённость, предположим, что Ахиллес ровно в пять раз быстрее черепахи. Когда он пробежит тысячу шагов, черепаха проползёт двести. Когда Ахиллес пробежит оставшиеся двести, черепаха успеет проползти сорок.

Каждый раз Ахиллес пробегает в пять раз меньше шагов, поэтому общий путь до того момента, как Ахиллес догонит черепаху, составит

1000 + 200 + 40 + 8 + 8/5 + 8/25 + …

Мы видим сумму членов бесконечной последовательности. Зенон утверждает, что, поскольку последовательность бесконечна, сумма членов также будет бесконечной, и Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Так ли это?

Оказывается, нет. Бесконечность требует к себе осторожного отношения. В нашем ряду числа всё ближе и ближе к нулю, и довольно быстро становятся почти нулём. Если складывать очень много таких почти нулей, в результате может получиться не очень большое число.

Скажем, если мы сложим миллиард чисел, каждое из которых равно одной миллиардной, в результате получится единица. Это не похоже на бесконечность, не так ли?

Конечно, не каждая убывающая последовательность имеет конечную сумму. Сумма 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … бесконечна, не смотря на то, что этот ряд — гармонический — убывает.

Но наша последовательность другой природы. Первое число b1 = 1000, а каждое следующее получается умножением предыдущего на q = 1/5:

b1 = 1000
b2 = b1 * 1/5 = 200
b3 = b2 * 1/5 = 40
b4 = b3 * 1/5 = 8
b5 = b4 * 1/5 = 8/5

Последовательность такого вида называется геометрической прогрессией. Если q меньше единицы, то последовательность убывает: каждое следующее число меньше предыдущего и довольно быстро приближается к нулю.

Оказывается, если геометрическая прогрессия убывает, то сумма всех её членов конечна, и вычисляется по формуле:

S = b1/(1 - q)

Это формула верна, если q больше нуля и одновременно меньше единицы. В нашем случае это именно так, q = 1/5.

Подставим числа b1 = 1000 и q = 1/5 в формулу. Получим, что сумма ряда равна 1000/(1 - 1/5) = 1000/(4/5) = 1000*5/4 = 5000/4 = 1250. Именно через 1250 шагов Ахиллес догонит черепаху.

Ничего сложного, не правда ли?

Теперь рассмотрим второй парадокс.

Другая апория называется “Стрела”. Суть: летящая стрела покоится. Что за черт? Почему?! Она ж летит! Объяснение такое: в каждый момент времени стрела занимает определенное место в пространстве, то есть находится там недвижно. Меняется момент — она опять в каком-то месте пространства. И опять покорится. И так всю дорогу. Получается, что стрела постоянно висит в пространстве недвижно.

По сути говоря, Зенон как был разбил этот полет на кадры и увидел в своем воображении первое в мире кино по кадрам.

О чём эта апория? Зенон рассматривает связь скорости, расстояния и времени:

u = s/t

Скорость u прямо пропорциональна расстоянию s, которое пролетела стрела, и обратно пропорциональна времени t, которое она летела.

Зенон утверждает, что когда время и расстояния оба становятся равными нулю, скорость тоже станет равной нулю: 0/0 = 0.

Логично?

Не совсем. Во-первых, неверно, что ноль делить на ноль будет ноль. Результат операции деления ноль на ноль не определён, потому что может равняться любому числу. Хотите проверить?

0/0 = 5

Проверяем: умножаем делитель 0 на частное 5, получаем делимое 0: 0 * 5 = 0. В эту формулу можно подставить любое число, не только 5.

Во-вторых: в данном случае скорость всё-таки можно определить, но считать её надо осторожно.

Предположим, каждую секунду стрела пролетает десять метров, значит, её скорость десять метров в секунду. За полсекунды стрела пролетит пять метров, а за четверть секунды — 2,5 метра. В каждом из этих случаев скорость останется равной десяти метрам в секунду:

Если t = 1 секунда ; s = 10 метров; скорость u = 10/1 = 10 метров в секунду.

Если t = 0,5 секунды; s = 5 метров; скорость u = 5/0,5 = 10 метров в секунду.

Если t = 0,01 секунды; s = 0,1 метра; скорость u = 0,1/0,01 = 10 метров в секунду.

Видим, что время становится меньше и меньше, а скорость не изменяется, потому что за меньшее время стрела пролетает меньшее расстояние. Математики говорят, что время стремится к нулю и записывают это с помощью стрелки t → 0;.

Если t → 0 и s → 0, чему будет равно u? Здесь у нас не просто ноль делённый на ноль, здесь зависимость, природа которой нам известна. Мы можем сказать: ноль нельзя делить на ноль, поэтому значение скорости не определено. Или мы можем сказать: по аналогии считаем, что скорость равна десяти метрам в секунду, даже когда t = 0.

Как поступили математики? Они предположили, что верно второе, и посмотрели, что получится. Оказалось, такое допущение помогает решать большое количество задач: описывать движение планет, вычислять объёмы сложных фигур, управлять плавильными печами.

Допущение оказалось полезным, и математики решили, что в некоторых случаях ноль можно делить на ноль, но при выполнении нескольких важных условий.

Исаак Ньютон, разрабатывая основы анализа, называл скорость, полученную при условии t → 0 — мгновенной скоростью, то есть скоростью за одно мгновение. У летящей стрелы мгновенная скорость есть, и она не равна нулю.

Математики опровергли парадоксы Зенона, введя такие понятия, как бесконечно малая величина, предел, производная функция. Первые работы по этому вопросу появились в конце XVII века. Зенон жил в IV веке до нашей эры, и, конечно, не обладал необходимым аппаратом. Более того, он даже не мог производить серьёзные арифметические вычисления, потому что для этого нужны арабские цифры, изобретённые в V веке нашей эры.

Замечу, что мы не опровергли утверждения Зенона, мы опровергли два его доказательства. Так что, возможно, Парменид был прав, а Зенон просто не сумел этого доказать.